在加拿大
重视理解，是美国数学教育中非常重要的教学理念之一，在许多州都采用的共同核心标准也强调了 理解比记忆更能真正学会数学。
但是，面对充满小组讨论、自我探究等“发现式”教学的数学课堂，很多家长、老师，乃至大学数学教授都提出了反对。
美国的一位资深中学老师Barry Garelick也是这种教学理念的反对者之一。Barry Garelick拥有密歇根大学的数学本科学位，也在中学当过多年数学老师。
在他看来，当下美国的数学教育已经走入了一种极端， 只重视理解和发现，反对任何记忆、背诵和练习，这正是美国孩子数学能力止步不前的直接原因。尤其对低年级的孩子来说，这样的数学课堂更是灾难。
连游泳都没学会的孩子是不可能打好水球的。在Barry Garelick眼中，很多孩子学数学就是这样一个状态—— 缺乏必要的基础知识，连“脚手架”都没搭好，就被催着赶着去发现新的数学知识。
没有基础知识储备的盲目探究，反而扼杀了孩子对数学的兴趣
早在二十世纪初，美国蒙哥马利县就尝试引进数学强国新加坡的部分数学教材。在新加坡的教材里，有一道经典的题：“玛丽和比尔共有10美元，玛丽的钱比别人多2美元，问玛丽和比尔各有多少钱。”
在美国，孩子们被鼓励用猜测法（Guess-and-Check）来试错，通过把不同的数字组合代入题目，来找到正确答案。但是，新加坡的做法是教孩子们用条块图来解题——用条块长度表示两人钱的数目，很清楚就能算出“玛丽有6美元，比尔有4美元“。
而条块图这种被某些人所不齿的“技巧“，在Barry Garelick看来不仅是一种解题方法，也是数形结合的思维方法。通过恰当的练习，孩子们可以把“数形结合”的思维方法迁移到其他题目中。而仅靠猜测法，孩子恐怕很难看出其中的规律。
此外，Barry Garelick认为 缺乏基础指导的问题也同样出现在“真实的问题”这个理念上。
比如传统的应用题，“两列火车以不同的速度相向而行，什么时候相遇？”就被认为是不真实的问题，因为它与孩子的生活无关。相反，老师们被鼓励让孩子解决“真实的问题”，比如“学校图书馆有100本书，需要多少箱子来包装和运输？”
“可是这种问题真的真实吗？”Barry多次在自己的文章中反问，“如果它是真实的问题，那么书本的形状、大小都是未知的，箱子的大小也是未知的，孩子们根本无从下手，只会觉得沮丧。”
在Barry Garelick看来，孩子们的 数学能力不是只靠自己探究出来的，而是在老师适当的引导下，从解决新手问题，一步步发展到解决“专家难题”这样锻炼出来的。
强制要求孩子解释算式的原理，阻碍了抽象数学思维的发展
从数学的角度来说，Barry认为，强行用文字叙述来解释算式，是一种数学思维的倒退。
将具体问题转变为纯数学表达后，孩子们就可以专心地解决问题，不会被数学以外的种种情景、条件分散注意力。换句话说， 强制性的“数学理解展示”会阻碍孩子们去解决数学问题。
强制性的解释不仅把简单的数学问题复杂化，也让 美国的数学课程变得拖延——根据共同核心标准，四年级才能学习两位数和三位数加减法的“传统”计算方法（实际大多数学校会提前两年教授这些算法），两位数和三位数的乘法算法被推迟到五年级才学，长除法则要到六年级才学到。
在有些情况下，孩子们实在无法解释自己的解题过程，不得不自己想办法来应付这种要求——他们先用方程、算式把问题解出来，然后再添上要求的叙述性解释文字。这种情况与最初要求孩子“解释数学”的初衷已经南辕北辙。
纠结于基本概念，反而不能让孩子攻破数学学习的真正难点
对于练习体育运动，学习音乐或者舞蹈，很多人都认同必须要掌握技巧，加上大量的练习。但是一到数学领域，很多数学改革者就对“记忆”“练习”嗤之以鼻，认为是抹杀孩子兴趣，阻碍数学能力发展的做法。
比如，背诵乘法表就被这些人认为阻碍了孩子理解乘法的意义，而是鼓励孩子们用推理来得出答案。不过，包括Barry在内的许多数学老师，乃至数学教授认为，掌握一些基本能力，比如运算，恰恰是发展数学能力的基础。相反， 现在很多数学课花了大量时间去理解所谓的“概念”，反而忽略了孩子们在学习过程中遇到的真正难点。
教授Katharine就曾在文章中提到过具体的例子：
很多老师在教负数时，告诉孩子们负数表示小于0的数字，或者数轴上0特定一侧的数字，还提到了很多负数的实际应用场景，包括低于海平面的距离、低于冰点的温度等。
但这些并不是孩子们学习负数时最困难的地方，孩子们真正觉得困难的是掌握负数的计算法则，包括负数x正数=负数、负数x负数=正数，还有在复杂表达式中知道负号该怎么变。
花两周时间研究负数可以表达低于海平面的距离不仅浪费了宝贵的学习时间，还让孩子们觉得学数学很无聊。
还有数位这个概念。具有挑战性和有趣的地方不在于知道123是100，加2个10，再加3个1，而在于加减乘除的竖式计算和长除法，是怎么利用数位（3在个位表示3个1，2在十位表示2个10，1在百位表示1个100）得出正确结果的。
这也是很多数学教授 反对无限制地在K12阶段使用计算器的理由，这让很多孩子错过了去 体验数学计算中涉及的一些数的性质。
比如手算可以发现无限循环小数后面的数字一直在循环，但使用计算器不会。约翰斯·霍普金斯大学也曾对数学系学生进行过一次调查，发现那些K12阶段被鼓励使用计算器的学生，分数普遍要低一些。
面对“发现式数学”泛滥的美国课堂，Barry Garelick曾说道，正是“像数学家一样思考”的想法把数学教育和孩子们引入歧途。尤其是低龄的孩子们，数学基础知识还很贫乏，数学思维还没有很好地发展起来，就被老师推着去探究数学，那么结果自然是处处碰壁。
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