加拿大华人论坛 加拿大百科梯形的问题
在加拿大
这是一个梯形，其中上底为12cm，下底为 20cm. 梯形内部找到一个内接圆，这个圆与梯形的四条边都相切.计算半径?
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梯形斜边ll平方=4r平方+16l=6+10r=√60
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xchn818 说:梯形斜边ll平方=4r平方+16l=6+10r=√60点击展开...内切圆是关键条件，请问你这个计算是怎样体现的？
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reed 说:内切圆是关键条件，请问你这个计算是怎样体现的？点击展开...如图BC=BDAc=afAb=Ac+bcBh=2rAh=4勾股定理
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xchn818 说:如图BC=BDAc=afAb=Ac+bcBh=2rAh=4勾股定理浏览附件673856点击展开...你附加了一个条件，限定这是个等腰梯形，所以大大简化了计算。但其实任意梯形都可以有内切圆，计算就很复杂了。我可以证明，任意梯形具有内切圆的条件是两腰之和等于上下底之和，但再求内切圆半径的一般表达式，将涉及复杂的演算，我却步了
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reed 说:你附加了一个条件，限定这是个等腰梯形，所以大大简化了计算。但其实任意梯形都可以有内切圆，计算就很复杂了。我可以证明，任意梯形具有内切圆的条件是两腰之和等于上下底之和，但再求内切圆半径的一般表达式，将涉及复杂的演算，我却步了 点击展开...梯形不一定有内切圆，如一个很狭长的梯形。不等腰梯形，也是一样的解法，多几个变量。
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xchn818 说:梯形不一定有内切圆，如一个很狭长的梯形。不等腰梯形，也是一样的解法，多几个变量。点击展开...当然不是所有梯形都有內切圆，很高或很扁的显然不可能有。条件就是我上面说的，两腰长之和等于上下底长之和，符合这个条件的梯形才有內切圆。不等腰梯形，要求解內切圆半径，复杂很多，但应该只用初等运算即可，也就是代数和三角函数，各种变换技巧。
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楼主 @towerx 有什么见解？可以分享一下吗
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我算了一下，如果这道题不是等腰梯形，没有一般解，半径会随角度的不同而不同。譬如梯形顶边一头发生变化，为了保证内切，底边长度也变化，但变化长度和顶边不同，如果要维持条件中的边长，顶边另一方向需做反向变化，由于切点位置不同，底边变化不能保持另一端变化的比例相同。
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没错，如果不是等腰梯形，只给出上底和下底，则内切圆半径是不确定的。在有内切圆和固定两底长的条件下，我把梯形的高 h 解出来（h = 2r），它是梯形两个底角的变量，所以没有一般解。只有在等腰梯形的条件下，楼主的题目才有解。如果是等腰梯形，则两底角相等，于是由上式可推出腰长等于上下两底的平均值，再用勾股定理就可算出梯形的高，内切圆半径是高的一半。（正如4楼的结果）
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